Question

12．在數(shù)列{a_n}中，S_n=2ⁿ+1，則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 通過(guò)S_n=2ⁿ+1可知a₁=3，a_n=2^n-1（n≥2），進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=2ⁿ+1，
∴a₁=S₁=2+1=3，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+1）-（2^n-1+1）=2^n-1（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．