Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對(duì)任意m，n∈N^*，都有a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²．
（Ⅰ）求a₃；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），證明：{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）試判斷關(guān)于n的方程a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+8（n∈N^*）是否有解？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，令n=1，m=2，得出方程，求出a₃的值；
（Ⅱ）【方法一】由題意，推出b_n+1-b_n為常數(shù)，即可得出{b_n}是等差數(shù)列；【方法二】計(jì)算b_n+1-b_n的值，由已知得出b_n+1-b_n為常數(shù)，從而得出{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）【解法一】由已知，令m=1，求出a_n的表達(dá)式，假設(shè)方程a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+8（n∈N^*）有解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和根的存在性定理，求出該函數(shù)的零點(diǎn)，從而判斷假設(shè)不成立，方程無解．
【解法二】由題意知，a_2n+1-a_2n-1=8n-2，利用累加法求出a_n的解析式，以下按照解法一進(jìn)行即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
∴令n=1，m=2，得a₁+a₃=2a₂+2，
又∵a₁=0，a₂=2，∴a₃=6；
（Ⅱ）證明：【方法一】∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
∴用n+2代替m，則a_2n-1+a_2n+3=2a_2n+1+8；
∴（a_2n+3-a_2n+1）-（a_2n+1-a_2n-1）=8，
∴b_n+1-b_n=8為常數(shù)，n∈N^*，
又b₁=a₃-a₁=6，
∴{b_n}是首項(xiàng)為6，公差為8的等差數(shù)列；
【方法二】∵b_n+1-b_n=（a_2n+3-a_2n+1）-（a_2n+1-a_2n-1）
=（a_2n+3+a_2n-1）-2a_2n+1，n∈N^*；
令m=n+2，由已知得（a_2n+3+a_2n-1）-2a_2n+1=8，
∴b_n+1-b_n=8為常數(shù)，
又b₁=a₃-a₁=6，
∴{b_n}是首項(xiàng)為6，公差為8的等差數(shù)列；
（Ⅲ）【解法一】∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
∴令m=1，則a_2n-1+a₁=2a_n+2（n-1）²，
∴a_n=$\frac{{a}_{2n-1}{+a}_{1}}{2}$-（n-1）²
=$\frac{{（a}_{2n-1}{-a}_{2n-3}）+{（a}_{2n-3}{-a}_{2n-5}）+…+{（a}_{3}{-a}_{2}）+{2a}_{1}}{2}$-（n-1）²
=$\frac{_{n-1}{+b}_{n-2}+…{+b}_{1}}{2}$-（n-1）²
=n²-n；
假設(shè)關(guān)于n的方程a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+8（n∈N^*）有解n₀∈N^*，
即${（\frac{1}{2}）}^{n}$+8-n²+n=0有解n₀，
則x=n₀是函數(shù)f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）的零點(diǎn)；
設(shè)1≤x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=[${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{1}}$-${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{2}}$]+（x₂-x₁）（x₂+x₁-1），
且${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{1}}$-${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{2}}$＞0，x₂+x₁-1≥1＞0，x₂-x₁＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）至多有一個(gè)零點(diǎn)；
∵f（3）•f（4）=$\frac{17}{8}$×（-$\frac{63}{16}$）＜0，
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）在區(qū)間（3，4）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）在區(qū)間（3，4）內(nèi)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x=n₀，
且3＜n₀＜4，這與n₀∈N^*矛盾，∴假設(shè)不成立，
即關(guān)于n的方程a_n=${（\frac{1}{2}）}^{n}$+8（n∈N^*）無解．
【解法二】由題意知，a_2n+1-a_2n-1=8n-2，
令n=1，2，3，…，n-1，
得出n-1個(gè)等式，累加可得a_2n-1=（4n-2）（n-1）-6，
∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
令m=1，則a_2n-1+a₁=2a_n+2（n-1）²，
∴a_n=n²-n；以下解答與解法一相同．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用問題，考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及根的存在性定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．