Question

給出下列命題：
①已知集合M滿足∅?M⊆{1，2，3，4，}，且M中至多有一個(gè)偶數(shù)，這樣的集合M有6個(gè)；
②函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2，在區(qū)間（-∞，4）上為減函數(shù)，則a的取值范圍為0≤a≤

1

5

；
③已知函數(shù)f（x）=

x

x+1

，則f(2)+f(3)+…+f(61)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

61

)=60；
④如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（x）=（x-2014）²+1（x≥0），
則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+2014）²-1；
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：由集合的列舉法，即可判斷①；討論a=0，a＞0，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷②；
求出f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1

x+1

=1，即可判斷③；函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f（-x）=f（x），當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，代入已知函數(shù)式，化簡(jiǎn)即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，集合M滿足∅?M⊆{1，2，3，4，}，且M中至多有一個(gè)偶數(shù)，
列舉為{1}，{3}，{1，3}，{2}，{4}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}，{1，4}，{3，4}，{1，4，3}共11個(gè)，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2，在區(qū)間（-∞，4）上為減函數(shù)，
則a=0或a＞0，且-1+

1

a

≥4，解得0≤a≤

1

5

，故②對(duì)；
對(duì)于③，函數(shù)f（x）=

x

x+1

，則f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1

x+1

=1，
故f(2)+f(3)+…+f(61)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

61

)=60，則③對(duì)；
對(duì)于④，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（x）=（x-2014）²+1（x≥0），
則當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x-2014）²+1=f（x），則f（x）=（x+2014）²+1，故④錯(cuò)．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的表示方法，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及對(duì)稱性和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．