Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，線段AB是圓x²+y²-2x-y+m=0的一條直徑也是橢圓C的一條弦，已知直線AB斜率為-1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M，P是橢圓C上的兩點，點M關于x軸的對稱點為N，當直線MP，NP分別交x軸于點M₁，N₁，求證：|OM₁|•|ON₁|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的短軸長為2，得到b=2，求出圓心坐標為（1，$\frac{1}{2}$），利用點差法得a²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），直線MP的方程為x=ny+m，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（n²+2）y²+2mny+m²-2=0，求出直線NP的方程，由此能證明|OM₁|•|ON₁|為定值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，∴2b=2，b=1．
∵線段AB是圓x²+y²-2x-y+m=0的一條直徑也是橢圓C的一條弦，直線AB斜率為-1，
∴圓心坐標為（1，$\frac{1}{2}$），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
兩式相減，得：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{2•\frac{1}{2}}{2•1}•（-1）=-\frac{1}{{a}^{2}}$，解得a²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）證明：設M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），直線MP的方程為x=ny+m，
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（n²+2）y²+2mny+m²-2=0，
∴${y}_{3}+{y}_{4}=-\frac{2mn}{{n}^{2}+2}$，${y}_{3}{y}_{4}=\frac{{m}^{2}-2}{{n}^{2}+2}$，
直線NP的方程為$y+{y}_{3}=\frac{{y}_{4}+{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$（x-x₃），
令y=0，得${y}_{{N}_{1}}=\frac{{y}_{3}{y}_{4}+{x}_{3}{x}_{4}}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=$\frac{2n{y}_{3}{y}_{4}+m（{y}_{3}+{y}_{4}）}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=$\frac{2}{m}$，
∵M₁（m，0），∴|OM₁|•|ON₁|=2為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段長的乘積為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、點差法、圓的性質(zhì)的合理運用．