Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，求證：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由條件可得a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），即為b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，運用等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式可得a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由累加法和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求；
（3）運用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n，可得
a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），
即為b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，
則{b_n}為首項為a₂-a₁=1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即為a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
由a₂-a₁=1，a₃-a₂=$\frac{1}{2}$，…，a_n-a_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
累加可得a_n=1+1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2
=1+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$=3-（$\frac{1}{2}$）^n-2；
（3）前n項和S_n=3n-[2+1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2]
=3n-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=3n-4+（$\frac{1}{2}$）^n-2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查構(gòu)造數(shù)列，以及累加法求通項的方法和分組求和方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．