Question

10．將四個編號為1，2，3，4的相同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，
（1）若每個盒子放一個小球，求有多少種放法；
（2）若每個盒子放一球，求恰有1個盒子的號碼與小球的號碼相同的放法種數(shù)；
（3）求恰有一個空盒子的放法種數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把四個編號為1，2，3，4的相同小球全排列即可，
（2）先確定一個1個盒子的號碼與小球的號碼相同，有4種，再確定，剩下的3個小球只有2種放法，根據(jù)分步計數(shù)原理可得．
（3）恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1、1、2．先從4個小球中任選2個放在一起，與其他兩個球看成三個元素，在三個位置排列．

解答 解：（1）若每個盒子放一個小球，把四個編號為1，2，3，4的相同小球全排列，故有$A_4^4$=24種；
（2）假設(shè)1號小球放在1號盒子內(nèi)，先放2號小球，若2號小球放在3號盒子里，則3號小球只能放在4號盒子里，4號小球只能放在2號盒子里，有1種方法，
若2號小球放在4號盒子里，則3號小球只能放在2號盒子里，4號小球只能放在3號盒子里，有1種方法，
故恰有1個盒子的號碼與小球的號碼相同的放法種$C_4^1•2$=8種；
（3）恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內(nèi)有小球，
且小球數(shù)只能是1、1、2．
先從4個小球中任選2個放在一起，有C²₄種方法，
然后與其余2個小球看成三組，分別放入4個盒子中的3個盒子中，有A³₄種放法．
∴由分步計數(shù)原理知共有C²₄A³₄=144種不同的放法．

點(diǎn)評 本題考查計數(shù)問題，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素，屬于中檔題．