Question

1．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=$\frac{3sinx-1}{2sinx+1}$          
（2）y=sin²x+sinx+1．

Answer 1

分析 （1）法一、把已知函數(shù)解析式變形，分離常數(shù)，然后由sinx的范圍逐一求出2sinx+1、$\frac{1}{2（2sinx+1）}$的范圍得答案；法二、把已知函數(shù)解析式變形求解sinx，然后利用正弦函數(shù)的有界性得|sinx|≤1，進(jìn)一步得到關(guān)于y的分式不等式得答案；
（2）利用配方法結(jié)合sinx的范圍求得函數(shù)值域．

解答 解：（1）法一、y=$\frac{3sinx-1}{2sinx+1}$=$\frac{\frac{3}{2}（2sinx+1）-\frac{5}{2}}{2sinx+1}$=$-\frac{5}{2（2sinx+1）}+\frac{3}{2}$，
由題意2sinx+1∈[-1，0）∪（0，3]，則2（2sinx+1）∈[-2，0）∪（0，6]．
$\frac{1}{2（2sinx+1）}∈$（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{6}$，+∞）．
∴$-\frac{5}{2（2sinx+1）}∈$（-∞，-$\frac{5}{6}$]∪[$\frac{5}{2}，+∞$），
則y∈（-∞，$\frac{2}{3}$]∪[4，+∞）；   
法二、由y=$\frac{3sinx-1}{2sinx+1}$，得2ysinx+y=3sinx-1，即（2y-3）sinx=-y-1，
∴sinx=$\frac{-y-1}{2y-3}$，由|sinx|=|$\frac{y+1}{2y-3}$|≤1，兩邊平方得：（y+1）²≤（2y-3）²，
整理得3y²-14y+8≥0，解得y$≤\frac{2}{3}$或y≥4．
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，$\frac{2}{3}$]∪[4，+∞）；                 
（2）y=sin²x+sinx+1=$（sinx+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，∴$（sinx+\frac{1}{2}）^{2}∈[0，\frac{9}{4}]$，則y∈[$\frac{3}{4}，3$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了分離常數(shù)法和配方法，體現(xiàn)了極限思想方法的運(yùn)用，是中檔題．