Question

1．已知tanθ與tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的兩個根，求證：q=p+1．

Answer 1

分析 由tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的兩個根，根據(jù)一元二次方程的根的分布與系數(shù)關(guān)系得到tanθ+tan（$\frac{π}{4}$-θ）=-p，tanθ•tan（$\frac{π}{4}$-θ）=q，再根據(jù)兩角差的正切公式即可得到證明．

解答 證明：由tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的兩個根，
得tanθ+tan（$\frac{π}{4}$-θ）=-p，tanθtan（$\frac{π}{4}$-θ）=q，
又∵1=tan[θ+（$\frac{π}{4}$-θ）]=$\frac{tanθ+tan（\frac{π}{4}-θ）}{1-tanθ•tan（\frac{π}{4}-θ）}$=$\frac{-p}{1-q}$，
得到q=p+1．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．