Question

20．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≤0}\\{x+2y-4≥0}\\{x-3y+11≥0}\end{array}\right.$，則x，y所表示的區(qū)域的面積為$\frac{5}{2}$，若x，y同時(shí)滿(mǎn)足（t+1）x+（t+2）y+t=0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-2，-$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出三角形的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解，求出（t+1）x+（t+2）y+t=0過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖象建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（1，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{x-3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-2，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
令x=0．得y=$\frac{11}{3}$，即D（0，$\frac{11}{3}$），
即AD=$\frac{11}{3}$-2=$\frac{5}{3}$
則區(qū)域面積S=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{3}$×2+$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{3}$×1=$\frac{5}{2}$．
由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即（t+1）x+（t+2）y+t=0過(guò)定點(diǎn)M（-2，1），
則由圖象知A，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)兩側(cè)和在直線(xiàn)上即可，
即[2（t+2）+t][-2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得-2≤t≤-$\frac{4}{3}$，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為是[-2，-$\frac{4}{3}$]，
故答案為：$\frac{5}{2}$；[-2，-$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及三角形面積的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．