Question

6．求函數(shù)y=4-2sinx-cos²x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 運(yùn)用同角的平方關(guān)系和換元法，令t=sinx（-1≤t≤1），則y=2t²+5t-1，運(yùn)用二次函數(shù)的值域求法，即可得到最值．

解答 解：函數(shù)y=4-2sinx-cos²x
=4-（1-sin²x）-2sinx
=sin²x-2sinx+3
令t=sinx（-1≤t≤1），
則y=t²-2t+3
=（t-1）²+2，
對(duì)稱(chēng)軸為t=1，
即有區(qū)間[-1，1]為減區(qū)間，
當(dāng)t=-1，即x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，
y取得最大值為6，
當(dāng)t=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，
y取得最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，主要考查正弦函數(shù)的值域，同時(shí)考查換元法和二次函數(shù)的值域求法，屬于中檔題．