Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（1）若命題p：log₂[g（x）]≥1是假命題．求x的取值范圍；
（2）若命題q：x∈（-∞，3）．命題r：x滿足f（x）＜0或g（x）＜0為真命題．￢r是￢q的必要不充分條件，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p：由log₂[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2^x-2≥2，解得x范圍．由于log₂[g（x）]≥1是假命題，即可得出x的取值范圍．
（2）對于命題r：由f（x）＜0解得2m＜x＜-m-3；由g（x）＜0解得x＜1．￢r是￢q的必要不充分條件，可得r是q的充分不必要條件．即可得出．

解答 解：（1）命題p：由log₂[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2^x-2≥2，即2^x≥2²，解得x≥2．
∵log₂[g（x）]≥1是假命題，∴x＜2．
∴x的取值范圍是x＜2．
（2）對于命題r：由f（x）＜0解得2m＜x＜-m-3；
由g（x）＜0解得x＜1．
￢r是￢q的必要不充分條件，∴r是q的充分不必要條件．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＜3}\\{-m-3＜3}\end{array}\right.$，m＜-1，解得-6＜m＜-1．
∴m的取值范圍是-6＜m＜-1．

點評 本題考查了不等式的解法、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．