Question

9．已知a_n=log_n（n+1），化簡$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{2}}10}$+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{3}}10}$+…+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{127}}10}$．

Answer 1

分析 運用換底公式log_aN=$\frac{lo{g}_N}{lo{g}_a}$，及變形公式log_ab•log_ba=1，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡即可得到結(jié)論．

解答 解：$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{2}}10}$+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{3}}10}$+…+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{127}}10}$=lga₂+lga₃+lga₄+…+lga₁₂₇
=lg（a₂•a₃•a₄…a₁₂₇），
由a_n=log_n（n+1），可得a₂•a₃•a₄•…•a₁₂₇=log₂3•log₃4•log₄5•…•log₁₂₇128
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$…$\frac{lg128}{lg127}$=$\frac{lg128}{lg2}$=7．
即有l(wèi)g（a₂•a₃•a₄•…•a₁₂₇）=lg7．
則$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{2}}10}$+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{3}}10}$+…+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{127}}10}$=lg7．

點評 本題考查對數(shù)的換底公式的運用：化簡和計算，注意變形公式：log_ab•log_ba=1的運用，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．