Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁∈N^*，a₁≤36，且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），記集合M={a_n|n∈N^*}．
（Ⅰ）若a₁=6，寫出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；
（Ⅲ）求集合M的元素個數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a₁=6，利用a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$可求得集合M的所有元素為6，12，24；
（Ⅱ）因?yàn)榧�合M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)a_k是3的倍數(shù)，由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），可歸納證明對任意n≥k，a_n是3的倍數(shù)；
（Ⅲ）分a₁是3的倍數(shù)與a₁不是3的倍數(shù)討論，即可求得集合M的元素個數(shù)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）若a₁=6，由于a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），M={a_n|n∈N^*}．
故集合M的所有元素為6，12，24；
（Ⅱ）因?yàn)榧�合M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)a_k是3的倍數(shù)，由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），可歸納證明對任意n≥k，a_n是3的倍數(shù)．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍數(shù)；
如果k＞1，因?yàn)閍_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-36，所以2a_k-1是3的倍數(shù)；于是a_k-1是3的倍數(shù)；
類似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍數(shù)；
從而對任意n≥1，a_n是3的倍數(shù)；
綜上，若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，則集合M的所有元素都是3的倍數(shù)
（Ⅲ）對a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}2{a}_{n-1}，&{a}_{n}≤18\\ 2{a}_{n-1}-36，&{a}_{n＞18}\end{array}\right.$（n=1，2，…），可歸納證明對任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…）
因?yàn)閍₁是正整數(shù)，a₂=$\left\{\begin{array}{l}2{a}_{1}，{a}_{1}≤18\\ 2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18\end{array}\right.$，所以a₂是2的倍數(shù)．
從而當(dāng)n≥2時，a_n是2的倍數(shù)．
如果a₁是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知，對所有正整數(shù)n，a_n是3的倍數(shù)．
因此當(dāng)n≥3時，a_n∈{12，24，36}，這時M的元素個數(shù)不超過5．
如果a₁不是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知，對所有正整數(shù)n，a_n不是3的倍數(shù)．
因此當(dāng)n≥3時，a_n∈{4，8，16，20，28，32}，這時M的元素個數(shù)不超過8．
當(dāng)a₁=1時，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8個元素．
綜上可知，集合M的元素個數(shù)的最大值為8．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想及推理、運(yùn)算能力，屬于難題．