Question

8．已知邊長為1的等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若A、B、C、D、E在同一球面上，則此球的體積為（　�。�

• A． 2π
• B． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$π
• C． $\sqrt{2}$π
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π

Answer 1

分析 找出二面角的平面角，設(shè)球的半徑為R，則R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，求出R，即可求出球的體積．

解答 解：作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C-AB-D的平面角，
CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\frac{1}{2}$，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，
設(shè)球的半徑為R，則R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴V=$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}π$．
故選：D．

點評 本小題主要考查球的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．