Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ +3，x∈N* ， 在x=5時(shí)取到最小值，則實(shí)數(shù)a的所有取值的集合為 ．

Answer 1

【答案】[20，30]
【解析】解：∵f（x）=x+ +3，x∈N* ，
∴f′（x）=1﹣ = ，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，最小值為f（x）min=f（1）=4+a，不滿足題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x= ，
當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，即f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞ 時(shí)，即f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x= 時(shí)取最小值，
∵x∈N* ，
∴x取離 最近的正整數(shù)使f（x）達(dá)到最小，
∵x=5時(shí)取到最小值，
∴5＜ ＜6，或4＜ ≤5
∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），
∴4+ +3≥5+ +3且5+ +3≤6+ +3
解得20≤a≤30
所以答案是：[20，30]
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種．