考點:數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)求出數(shù)列的首項,通過
Sn-Sn-1=n•an+1-(n-1)•an,得到數(shù)列的遞推關(guān)系式,利用累加法求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)化簡b
n=
+
,為
bn=2+-,然后求解數(shù)列{b
n}的前n項和為T
n,即可證明:T
n<2n+
.
解答:
(本題14分)
解:(1)令n=1,得
S1=a2,即
a1=a2,由已知a
1=1,得a
2=2…(1分)
把式子
Sn=n•an+1,n∈N*中的n用n-1替代,得到
Sn-1=(n-1)•an,(n≥2)由
| Sn=n•an+1(n≥1) | Sn-1=(n-1)•an (n≥2) |
| |
可得
Sn-Sn-1=n•an+1-(n-1)•an即
an=n•an+1-(n-1)•an,即
(n+1)•an=n•an+1即得:
=, (n≥2),…(3分)
所以:
••…•=••…•,(n≥3)即
=,(n≥3)…(6分)
又∵a
2=2,所以∵a
n=n(n≥2)
又∵a
1=1,∴a
n=n…(8分)
(2)由(1)知
bn=+又∵
bn=+=1-+1+=2+-…(11分)
∴
Tn=b1+b2+b3…+bn=(2+-)+(2+-)+(2+-)+…+(2+-)∴
Tn=2n+-<2n+…(14分)
點評:本題考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用,數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列的求和的方法,通項公式的求法,考查分析問題解決問題的能力.