Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1

2

n•a_n+1，其中a₁=1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

an+1

an+2

+

an+2

an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出數(shù)列的首項，通過Sn-Sn-1=

1

2

n•an+1-

1

2

(n-1)•an，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，利用累加法求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）化簡b_n=

an+1

an+2

+

an+2

an+1

，為bn=2+

1

n+1

-

1

n+2

，然后求解數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，即可證明：T_n＜2n+

1

2

．

解答： （本題14分）
解：（1）令n=1，得S1=

1

2

a2，即a1=

1

2

a2，由已知a₁=1，得a₂=2…（1分）
把式子Sn=

1

2

n•an+1，n∈N*中的n用n-1替代，得到Sn-1=

1

2

(n-1)•an，(n≥2)
由

Sn= 1 2 n•an+1(n≥1) Sn-1= 1 2 (n-1)•an  (n≥2)

可得Sn-Sn-1=

1

2

n•an+1-

1

2

(n-1)•an
即an=

1

2

n•an+1-

1

2

(n-1)•an，即

1

2

(n+1)•an=

1

2

n•an+1
即得：

an+1

an

=

n+1

n

， (n≥2)，…（3分）
所以：

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

3

2

，(n≥3)
即 

an

a2

=

n

2

，(n≥3)…（6分）
又∵a₂=2，所以∵a_n=n（n≥2）
又∵a₁=1，∴a_n=n…（8分）
（2）由（1）知bn=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

又∵bn=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=1-

1

n+2

+1+

1

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

…（11分）
∴Tn=b1+b2+b3…+bn=(2+

1

2

-

1

3

)+(2+

1

3

-

1

4

)+(2+

1

4

-

1

5

)+…+(2+

1

n+1

-

1

n+2

)
∴Tn=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

…（14分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列的求和的方法，通項公式的求法，考查分析問題解決問題的能力．