Question

6．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N）．
（1）求S₁，S₂，S₃的值，并求出S_n及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（-1）ⁿ⁺¹（n+1）²•a_na_n+1（n∈N），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n
（3）設c_n=（n+1）•a_n（n∈N^*），在數(shù)列{c_n}中取出m（m∈N^*，m≥3為常數(shù)）項，按照原來的順序排成一列，構成等比數(shù)列{d_n}，若對任意的數(shù)列{d_n}，均有d₁+d₂+d₃+…+d_n≤M，試求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1及（S_n-1）²=a_nS_n整理可知S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，通過計算出前三項的值，利用歸納推理猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，進而利用數(shù)學歸納法證明即可；
（2）通過（1）可知b_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可；
（3）通過（1）可知c_n=$\frac{1}{n}$，進而問題轉化為求首項為1、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列的前n項和．

解答 解：（1）∵a_n=S_n-S_n-1，
∴（S_n-1）²=a_nS_n=（S_n-S_n-1）S_n，即S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
又∵$（{S}_{1}-1）^{2}$=${{S}_{1}}^{2}$，即S₁=$\frac{1}{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
…
猜想：S_n=$\frac{n}{n+1}$．
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，命題成立；
②假設當n=k（k≥1）時，有S_k=$\frac{k}{k+1}$，
則S_k+1=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，
即當n=k+1時，命題也成立；
由①②可知S_n=$\frac{n}{n+1}$．
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$（n≥2），
又∵a₁=S₁=$\frac{1}{2}$滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）由（1）可知，b_n=（-1）ⁿ⁺¹（n+1）²•a_na_n+1=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{n（n+2）}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴當n為奇數(shù)時，T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
當n為偶數(shù)時，T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}），}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}），}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（3）由（1）可知a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴c_n=（n+1）•a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），
由題意可知需等比數(shù)列{d_n}的首項及公比均達到最大，
顯然首項為1、公比為$\frac{1}{2}$，
∴1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$[2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）]=2，
∴M的最小值為2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，考查數(shù)學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．