Question

7．（Ⅰ）已知兩點(diǎn)P₁（4，9），P₂（6，3），求以P₁P₂為直徑的圓的方程；
（Ⅱ）求過兩個(gè)點(diǎn)A（2，-3）和B（-2，-5），且圓心在直線l：x-2y-3=0上的圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出P₁P₂的中點(diǎn)，可得圓心，再求出半徑，即可求以P₁P₂為直徑的圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用點(diǎn)A（2，-3）和B（-2，-5）在圓上，圓心在直線l：x-2y-3=0上，建立方程組，即可求出圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P₁P₂的中點(diǎn)為C，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，C（5，6），半徑$r=|C{P_1}|=\sqrt{10}$…（3分）
故，以P₁P₂為直徑的圓的方程為：（x-5）²+（y-6）²=10…（5分）
（Ⅱ）設(shè)圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，圓心為$（-\frac{D}{2}，-\frac{E}{2}）$…（2分）
又點(diǎn)A（2，-3）和B（-2，-5）在圓上，圓心在直線l：x-2y-3=0上，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{13+2D-3E+F=0}\\{29-2D-5E+F=0}\\{-\frac{D}{2}+E-3=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=4}\\{F=-5}\end{array}}\right.$
∴所求圓的方程為：x²+y²+2x+4y-5=0…（6分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查待定系數(shù)法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．