Question

17．已知向量序列：$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，…$\overrightarrow{a_n}$，…滿足如下條件：$|{\overrightarrow{a_1}}|=2$，$|{\overrightarrow d}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow d=-1$，且$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=\overrightarrow d$（n=2，3，4，…），則$|{\overrightarrow{a_1}}|$，$|{\overrightarrow{a_2}}|$，$|{\overrightarrow{a_3}}|$，…，$|{\overrightarrow{a_n}}|$，…中第5項最�。�

Answer 1

分析 由題意得到$\overrightarrow{{a}_{k}}={a}_{1}+（k-1）\overrightarrowpbrrbpj$，從而|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²=[$\overrightarrow{{a}_{1}}+（n-1）\overrightarrownpl7f7b$]²=$\frac{1}{8}（n-5）^{2}+2$．由此能求出結果．

解答 解：∵$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=\overrightarrow d$，∴$\overrightarrow{{a}_{k}}=\overrightarrow{{a}_{1}}+（k-1）\overrightarrowvpf7rdv$，
∵$|{\overrightarrow{a_1}}|=2$，$|{\overrightarrow d}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow d=-1$，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow79pnpl7$=-$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²=[$\overrightarrow{{a}_{1}}+（n-1）\overrightarrowxb7xdvv$]²=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}+（n-1）^{2}{\overrightarrowxx7pzpd}^{2}+2（n-1）\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrowh5djbzb$
=4+$\frac{1}{8}（n-1）^{2}$-（n-1）
=$\frac{1}{8}$（n-5）²+2．
∴當n=5時，|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²取最小值，即|$\overrightarrow{{a}_{5}}$|取�。�
故答案為：5．

點評 本題考查數列的應用，是中檔題，涉及到平面向量、二次函數、數列等知識點的合理運用．