Question

5．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax，g（x）=2lnx-b，且兩函數(shù)在x=2處有相同的切線．
（1）求兩函數(shù)的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）+m的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有三個不同的交點？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切點，代入計算即可得到f（x），g（x）的解析式；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）+m的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有三個不同的交點，即方程-x²+5x+m=2lnx+6-2ln2有且僅有三個不同的根，即m=x²-5x+2lnx+6-2ln2有且僅有三個不同的根，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，令m介于極小值和極大值之間．

解答 解：（1）f′（x）=-2x+a；g′（x）=$\frac{2}{x}$，
∵兩函數(shù)在x=2處有相同的切線，
∴-4+a=1，解得a=5，
∴f（x）=-x²+5x，
∴切點為（2，6），
∴6=2ln2-b，
∴b=2ln2-6，
∴g（x）=2lnx-2ln2+6；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）+m的圖象
與y=g（x）的圖象有且僅有三個不同的交點，
即方程-x²+5x+m=2lnx+6-2ln2有且僅有三個不同的根，
即m=x²-5x+2lnx+6-2ln2有且僅有三個不同的根，
∵$m′=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{（2x-1）（x-2）}{x}$，
令m′=0得$x=\frac{1}{2}或x=2$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞2$時，m′＞0；當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜2$時，m′＜0，
∴當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時m有極大值$\frac{15}{4}$-4ln2；當(dāng)x=2時m有極小值0，
∵m=x²-5x+2lnx+6有且僅有三個不同的根，
∴0＜m＜$\frac{15}{4}$-4ln2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的運用，考查構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)，注意函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．