Question

16．設(shè)函數(shù)f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）-3，則4f（x）＞f′（x）的解集為（　�。�

• A． （$\frac{ln4}{3}$，+∞）
• B． （$\frac{ln2}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{\sqrt{e}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f（x）=ae^bx+c，由f（0）=1得a+c=1；
再由3f（x）=f′（x）-3，得$\left\{\begin{array}{l}{3a-ab=0}\\{-3-3c=0}\end{array}\right.$；
由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．

解答 解：∵3f（x）=f′（x）-3，
∴f′（x）=3f（x）+3；
可設(shè)f（x）=ae^bx+c，
由f（0）=1，∴a+c=1；
又3f（x）=f′（x）-3，
∴3ae^bx+3c=abe^bx-3，
即（3a-ab）e^bx=-3-3c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-ab=0}\\{-3-3c=0}\end{array}\right.$，
解得b=3，c=-1，a=2；
∴f（x）=2e^3x-1，x∈R；
又4f（x）＞f′（x），
∴8e^3x-4＞6e^3x，
即e^3x＞2，
解得x＞$\frac{ln2}{3}$，
所求不等式的解集為（$\frac{ln2}{3}$，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是難題．