Question

4．已知條件p：函數(shù)f（x）=log_（2a-1）（ax-3）（a＞$\frac{1}{2}$，且a≠1）在其定義域上是減函數(shù)；條件q：函數(shù)g（x）=$\sqrt{x+|x-a|-2}$的定義域為R．如果“p或q”為真，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題：利用復(fù)合函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的范圍；對于q為真，則x+|x-a|-2≥0恒成立．記h（x）=x+|x-a|-2，則$h（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-a-2，x≥a\\ a-2，x＜a\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：若p為真，由a＞$\frac{1}{2}$，且a≠1，
∴y=ax-3在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，
而f（x）是減函數(shù)，則0＜2a-1＜1，即$\frac{1}{2}＜a＜1$；
若q為真，則x+|x-a|-2≥0恒成立．
記h（x）=x+|x-a|-2，則$h（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-a-2，x≥a\\ a-2，x＜a\end{array}\right.$，
所以h（x）的最小值為a-2，故a≥2；
于是“p或q”為真時，$\frac{1}{2}＜a＜1$或a≥2．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、分段函數(shù)求最值、命題的真假，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．