Question

17．已知兩個不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，兩組向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$，$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2個$\overrightarrow{a}$和3個$\overrightarrow$排列而成，記S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是②④（寫出所有正確命題的編號）．
①S有5個不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow{a}$|無關(guān)；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow$|無關(guān)；
④若|$\overrightarrow$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，則S_min＞0．

Answer 1

分析 寫出S的所有可能組合，計算它們的值，結(jié)合選項進(jìn)行判斷．

解答 解：S共有三種組合方式，分別記作S₁，S₂，S₃，
則S₁=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow•\overrightarrow$+$\overrightarrow•\overrightarrow$+$\overrightarrow•\overrightarrow$=2${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}$，
S₂=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow•\overrightarrow$+$\overrightarrow•\overrightarrow{a}+\overrightarrow•\overrightarrow{a}$=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$．
S₃=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow•\overrightarrow$+$\overrightarrow•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2{\overrightarrow}^{2}$．
當(dāng)$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$時，S_min=S₂=${\overrightarrow}^{2}$，
當(dāng)$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$時，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|或-|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|．
當(dāng)|$\overrightarrow$|＞4|$\overrightarrow{a}$|時，-4${\overrightarrow{a}}^{2}$＜$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜4${\overrightarrow{a}}^{2}$，${\overrightarrow}^{2}$＞16${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴S₂＞0，S₃＞0，又S₁＞0，
∴S_min＞0．
綜上可得②④正確，①③錯誤．
故答案為：②④．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．