Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1，
（1）若a＞0，解關于x的不等式f（x）≤0；
（2）若對于任意x∈（1，3），f（x）+$\frac{1}{a}$x＞-3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$a＜{（x+\frac{4}{x}）_{min}}$，x∈（1，3），求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵不等式$f（x）=（x-\frac{1}{a}）（x-a）≤0$，a＞0，
當0＜a＜1時，有$\frac{1}{a}＞a$，
∴不等式的解集為$\{x|a≤x≤\frac{1}{a}\}$；
當a＞1時，有$\frac{1}{a}＜a$，
∴不等式的解集為$\{x|\frac{1}{a}≤x≤a\}$；
當a=1時，不等式的解集為x∈{1}．
（2）任意x∈（1，3），$f（x）+\frac{1}{a}x$＞-3恒成立，
即x²-ax+4＞0恒成立，即$a＜x+\frac{4}{x}$恒成立，
所以$a＜{（x+\frac{4}{x}）_{min}}$，x∈（1，3），
所以a＜4．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的解法，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．