Question

3．已知復數(shù)z同時滿足下列兩個條件：
①z的實部和虛部都是整數(shù)，且在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．
②1＜z+$\frac{2}{z}$≤4
（Ⅰ）求出復數(shù)z；
（Ⅱ）求|$\overline{z}$+$\frac{2-i}{2+i}$|

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件，設(shè)出復數(shù)z，通過1＜z+$\frac{2}{z}$≤4求出即可復數(shù)z；
（Ⅱ）化簡$\overline{z}$+$\frac{2-i}{2+i}$為a+bi的形式，然后利用復數(shù)的模求解即可．

解答 解：由題意設(shè)復數(shù)z=a+bi，a＞0，b＜0，a，b∈Z．
（Ⅰ）1＜z+$\frac{2}{z}$≤4，可得：$1＜a+bi+\frac{2}{a+bi}≤4$，
可得1＜a+$\frac{2a}{{a}^{2}+^{2}}$+bi-$\frac{2b}{{a}^{2}+^{2}}i$≤4，
可得b-$\frac{2b}{{a}^{2}+^{2}}=0$，解得a²+b²=2  
1＜a+$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$≤4，a＞0，b＜0，a，b∈Z．
可得a=1，b=-1，
z=1-i．
（Ⅱ）|$\overline{z}$+$\frac{2-i}{2+i}$|=$|1+i+\frac{2-i}{2+i}|$=$|1+i+\frac{（2-i）^{2}}{5}|$=$|\frac{8}{5}+\frac{i}{5}|$=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

點評 本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算魔法師的模的求法，考查計算能力．