Question

為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨(dú)設(shè)置了一個(gè)專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很嚴(yán)重，為了控制經(jīng)營(yíng)成本，減少浪費(fèi)，就想適時(shí)調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來客棧入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：

①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；

②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；

③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．

(1)試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；

(2)請(qǐng)問哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？

Answer 1

解：(1)設(shè)該函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根據(jù)條件①，可知這個(gè)函數(shù)的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故該函數(shù)的振幅為200；由③可知，f(x)在[2,8]上單調(diào)遞增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.

根據(jù)分析可知，當(dāng)x＝2時(shí)f(x)最小，

當(dāng)x＝8時(shí)f(x)最大，

所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系式為f(x)＝200sin＋300.

(2)由條件可知，200sin＋300≥400，化簡(jiǎn)，得

sin≥⇒2kπ＋k∈Z，

解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.

因?yàn)?i>x∈N^*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.

即只有6,7,8,9,10五個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物．