分析 (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,根據(jù)條件化簡(jiǎn)等式列出方程組,求出a、b、c的值,可得f(x);
(2)由(1)化簡(jiǎn)方程f(x)+m=3x-1,將方程的根問題轉(zhuǎn)化為:函數(shù)g(x)=x2$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m在(0,3)上總有兩個(gè)不同的零點(diǎn),根據(jù)二次函數(shù)的圖象和條件列出不等式組,求出m的范圍.
解答 解:(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
∵f(2x)+f(x+1)=5x2-x+4
∴4ax2+2bx+c+a(x+1)2+b(x+1)+c=5x2-x+4
則5ax2+3bx+a+b+2c=5x2-x+4,
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a=5}\\{3b=-1}\\{a+b+2c=4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-\frac{1}{3}}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$,
∴f(x)=x2$-\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$;
(2)由(1)得,方程f(x)+m=3x-1為x2$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m=0,
∵方程f(x)+m=3x-1在(0,3)上總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴函數(shù)g(x)=x2$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m在(0,3)上總有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={(-\frac{10}{3})}^{2}-4×(\frac{8}{3}+m)>0}\\{g(0)=\frac{8}{3}+m>0}\\{g(3)=9-10+\frac{8}{3}+m>0}\end{array}\right.$,解得$-\frac{5}{3}<m<-\frac{1}{9}$,
則實(shí)數(shù)m的范圍是$(-\frac{5}{3},-\frac{1}{9})$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化,考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力,屬于中檔題.
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