Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-cos ²x+$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，及取最大值時x的值；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，若sinB=2sinA，求A，B的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解函數(shù)f（x）的最大值，及取最大值時x的值．
（2）由$f（c）=sin（2c-\frac{π}{6}）=1$，可求$c=\frac{π}{3}$，由正弦定理可得b=2a，利用余弦定理可求a，b，進而利用正弦定理即可得解sinB，sinA，從而可求B，A的值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）$，…（2分）
當(dāng)：$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，
即：$x=\frac{π}{3}+kπ（k∈z）$時，f（x）取得最大值為1，…（6分）
（2）∵$f（c）=sin（2c-\frac{π}{6}）=1$，可得2C-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴C=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，由C∈（0，π），可得：$c=\frac{π}{3}$，
又∵sinB=2sinA⇒b=2a，
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC=3，
∴a=1，b=2，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得$B=\frac{π}{2}，A=\frac{π}{6}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．