Question

15．已知可行域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+y≤4\\ x+3y≥4\end{array}\right.$，若直線$y=kx+\frac{4}{3}$將可行域所表示的圖形的面積平分，則k的值為$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的區(qū)域，如圖的陰影部分，直線$y=kx+\frac{4}{3}$過定點B（0，$\frac{4}{3}$），當其過對邊中點M時，直線就將陰影部分一分為二，故問題轉(zhuǎn)化為求中點P的坐標，于是先求出兩點A，B，C的坐標，再由中點坐標公式求P的坐標，再由斜率的兩點式求斜率即可．

解答 解：易知直線y=kx+$\frac{4}{3}$過點B（0，$\frac{4}{3}$），作出可行域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+y≤4\\ x+3y≥4\end{array}\right.$，由圖可知，當直線經(jīng)過線段AC的中點M時，平分可行域△ABC的面積，由解得點C（0，4），A（0，$\frac{4}{3}$），由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=4}\\{x+3y=4}\end{array}\right.$，可得B（1，1），
從而P為BC的中點（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），于是k=k_AP=$\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{2}-0}$=$\frac{7}{3}$．
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查線性規(guī)劃，考查不等式與區(qū)域的關(guān)系，中點坐標公式，訓練依據(jù)圖形進行分析轉(zhuǎn)化的能力，數(shù)形結(jié)合綜合性較強．