Question

14．（1）求證：m為任何實數(shù)，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5經(jīng)過某一定點；
（2）過該定點引一條直線，使它夾在兩坐標軸間的線段被這點平分，求這條直線的方程．

Answer 1

分析 （1）對于任意實數(shù)m，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒過定點，則與m的取值無關，則將方程轉化為（x+2y-1）m+（x+y-5）=0．讓m的系數(shù)和常數(shù)項為零即可；
（2）當斜率不存在時，不合題意；當斜率存在時，設所求直線l的方程為y+4=k（x-9），求出A，B的坐標，利用AB的中點為（9，-4），求出k，即可求這條直線的方程．

解答 （1）證明：方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5可化為（x+2y-1）m+（x+y-5）=0
∵對于任意實數(shù)m，當$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$時，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒過定點
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得x=9，y=-4．
故定點坐標是（9，-4）；
（2）解：當斜率不存在時，不合題意；
當斜率存在時，設所求直線l的方程為y+4=k（x-9），
直線l與x軸、y軸交于A、B兩點，則A（$\frac{4}{k}$+9，0）B（0，-9k-4）．
∵AB的中點為（9，-4），
∴$\frac{4}{k}$+9=18，-9k-4=-8，
解得k=$\frac{4}{9}$．
∴所求直線l₁的方程為y+4=$\frac{4}{9}$（x-9），
即：4x-9y-72=0．
所求直線l的方程為4x-9y-72=0．

點評 本題通過恒過定點問題來考查學生方程轉化的能力及直線系的理解，考查直線方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．