Question

17．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)滿足a_k=1-3k（k∈R），a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2），則a_n=$（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$．

Answer 1

分析 利用已知a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R）得到${a}_{n+1}={4}^{n}-3{a}_{n}$（n≥1，k∈R），進(jìn)一步得到${a}_{n+1}-\frac{{4}^{n+1}}{7}=-3（{a}_{n}-\frac{{4}^{n}}{7}）$（n≥1，k∈R），對k討論后求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證使首項(xiàng)為0的k后得答案．

解答 解：∵a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R），
∴${a}_{n+1}={4}^{n}-3{a}_{n}$（n≥1，k∈R），
則${a}_{n+1}-\frac{{4}^{n+1}}{7}=-3（{a}_{n}-\frac{{4}^{n}}{7}）$（n≥1，k∈R），
而a₁=1-3k，
∴${a}_{1}-\frac{4}{7}=1-3k-\frac{4}{7}=-3（k-\frac{1}{7}）$．
當(dāng)k≠$\frac{1}{7}$時，${a}_{1}-\frac{4}{7}≠0$，則數(shù)列{a_n-$\frac{{4}^{n}}{7}$}成等比數(shù)列，
則${a}_{n}-\frac{{4}^{n}}{7}=-3（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$；
當(dāng)k=$\frac{1}{7}$時，${a}_{1}-\frac{4}{7}=0$，上式成立．
∴${a}_{n}=（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$．
故答案為：$（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了推理能力和計(jì)算能力，訓(xùn)練了分類討論的思想方法，由數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列是解決該題的關(guān)鍵，屬于中檔題．