Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A，B，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點O為坐標原點，線段OB的中垂線與橢圓在第一象限的交點為P，設直線PA，PB，PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，若k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，則k₃•k₄=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{8}{3}$
• C． $-\frac{3}{8}$
• D． -4

Answer 1

分析 設P（m，n），A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由條件可得m=$\frac{a}{2}$，再由直線的斜率公式，結(jié)合k₁•k₂，可得n，代入橢圓方程，可得a=2b，求得c=$\sqrt{3}$b，再由直線的斜率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設P（m，n），A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由于線段OB的中垂線與橢圓在第一象限的交點為P，
即有m=$\frac{a}{2}$，
若k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，則$\frac{n-0}{\frac{a}{2}-（-a）}$•$\frac{n-0}{\frac{a}{2}-a}$=-$\frac{1}{4}$，
解得n=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
即P（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$a），代入橢圓方程可得，
$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{16}$•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即有a=2b，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
則k₃•k₄=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{b-（-\sqrt{3}b）}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{b-\sqrt{3}b}$=$\frac{\frac{3}{4}}{1-3}$=-$\frac{3}{8}$，
故選C．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時考查直線的斜率公式，考查運算能力，屬于中檔題．