Question

已知動圓C與定圓x²+y²=1內切，與直線x=3相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若Q是上述軌跡上一點，求Q到點P（m，0）距離的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）設動圓C的圓心C（x，y），由動圓C與定圓x²+y²=1內切，與直線x=3相切．可得3-x=

x2+y2

+1，
化簡即可得出，或利用拋物線的定義直接得出．
（2）設Q（x，y），則y²=-4（x-1）．（x≤1）．可得|PQ|²=[x-（m+2）]²-4m．對m分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）設動圓C的圓心C（x，y），由動圓C與定圓x²+y²=1內切，與直線x=3相切．
∴3-x=

x2+y2

+1，
化為y²=-4（x-1）．（x≤1）．
（2）設Q（x，y），則y²=-4（x-1）．（x≤1）．
∴|PQ|²=（x-m）²+y²=（x-m）²-4（x-1）
=[x-（m+2）]²-4m．
當m≥-1時，x=1時上式取得最小值（m-1）²，即|PQ|取得最小值|m-1|．
當m＜-1時，x=m+2時上式取得最小值-4m，即|PQ|取得最小值2

-m

．

點評：本題考查了圓的位置關系及其性質、直線與圓相切、兩點之間的距離公式、拋物線的定義及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．