Question

8．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2sinB-sinC=2sin（A-C）．
（1）求cosA；
（2）若a=$\sqrt{10}$，b+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）2sinB-sinC=2sin（A-C）得到sinC=2[sin（A+C）-sin（A-C）]，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得cosA=$\frac{1}{2}$，
（2）有（1）知A的度數(shù)，再根據(jù)余弦定理求出bc=5，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．

解答 解：（1）2sinB-sinC=2sin（A-C），
∴sinC=2[sin（A+C）-sin（A-C）]=2（sinAcosC+cosAsinC-sinAcosC+cosAsinC）=2cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）知，cosA=$\frac{1}{2}$，0＜A＜180°，
∴A=60°，
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，a=$\sqrt{10}$，b+c=5，
∴bc=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，以及余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．