【題目】設函數(shù).

（1）當求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若存在滿足，證明：成立.

【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增沒有極值；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由時，求得導數(shù)，結(jié)合導數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)性，進而求解極值；

（2）由，得到，由于的極小值點為，可設，設，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，即可求解.

（1）由時，函數(shù)，則，

令，解得；令，解得；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)有極小值，極小值為，無極大值.

（2）由，可得，從而得，

由，則，

由（1）知，當時，從而得在上單調(diào)遞增沒有極值，不符合題意；

當時，，可得；

可得得，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，

可設

設

，僅當時取得“”

所以在為單調(diào)遞增函數(shù)且

當，時有，即

又由，所以

又由(1)知在上單調(diào)遞減，且，

所以從而得證成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，，，側(cè)面底面．

（Ⅰ）作出平面與平面的交線，并證明平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù).

（1）若函數(shù)在處取得極值，求a的值；

（2）若函數(shù)的圖象在直線圖象的下方，求a的取值范圍；

（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.

表中，.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上極值點的個數(shù)；

（2）若是函數(shù)的兩個極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且，，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（ ）

A.9B.10C.18D.20

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】鐵人中學高二學年某學生對其親屬30人飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．）

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，幫助這位學生說明其親屬30人的飲食習慣；

（Ⅱ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列的列聯(lián)表：

主食蔬菜

主食肉類

合計

50歲以下人數(shù)

50歲以上人數(shù)

合計人數(shù)

（Ⅲ）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為其親屬的飲食習慣與年齡有關系？

附：.

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

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