Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={a_{n+1}}+{（-1）^n}{a_n}$，n∈N₊．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)和S₁₀₀；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，再求出{b_n}的通項(xiàng)公式，計(jì)算{b_n}的前100項(xiàng)和；
（Ⅱ）先求出等差數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，討論n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，求出a_n．

解答 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，∴a_n=n；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=a_n+1-a_n=1，即b₁=b₃=b₅=…=b_2n-1=1；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=a_n+1+a_n=2n+1，則b₂=5，b₄=9，b₆=13，
∴{b_n}的前100項(xiàng)和為
S₁₀₀=b₁+b₂+…+b₁₀₀
=（b₁+b₃+…+b₉₉）+（b₂+b₄+…+b₁₀₀）
=1×50+（50×5+$\frac{50×49×4}{2}$）
=5200；…（6分）
（Ⅱ）∵{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，且b₁=a₂-a₁=1，
∴b_n=2n-1；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=a_n+1-a_n=2n-1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=a_n+1+a_n=2n-1；
即$\left\{\begin{array}{l}{b_{2n-1}}={a_{2n}}-{a_{2n-1}}=4n-3\\{b_{2n}}={a_{2n+1}}+{a_{2n}}=4n-1\end{array}\right.$，
∴a_2n+1+a_2n-1=2
∴a_2n+1=2-a_2n-1；
又∵a₁=1，
∴a₁=a₃=a₅=…=1，
∴a_2n-1=1，a_2n=4n-2；
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，（n為奇數(shù)）\\ 2n-2，（n為偶數(shù)）\end{array}\right.$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算問(wèn)題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．