Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，其中a＞0．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）若1≤x≤e時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為-4，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及f（x）_max=-4，從而求出a的值，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，（a＞0，x＞0）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
∴x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，最大值為f（1）=-1．
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
①當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1時(shí)，f（x）_max=f（1）=-4，解得a=4符合題意；
②當(dāng)1≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤1時(shí)，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-4，解得：a=e³＞1（舍去）；
③當(dāng)$\frac{1}{a}$＞e，即0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_max=f（e）=-4，解得：a=$\frac{5}{e}$＞$\frac{1}{e}$（舍去）．
綜上，f（x）=lnx-4x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．