Question

11．二項式${（\root{3}{x}-\frac{3}{x}）^n}$的展開式中含有x²項，則n最小時，展開式中所有系數(shù)之和為64．

Answer 1

分析 求出展開式的通項公式，求出n的最小值，令x=1，即可求出所有系數(shù)之和．

解答 解：展開式的通項公式為${T}_{k+1}={C}_{n}^{k}（\root{3}{x}）^{n-k}•（-\frac{3}{x}）^{k}$=（-3）^k${C}_{n}^{k}$${x}^{\frac{n-4k}{3}}$，
∵展開式中含有x²項，
∴$\frac{n-4k}{3}$=2有解，即n=6+4k，（k=0，1，2…，n），
故當(dāng)k=0時，n=6為最小，
令x=1，則展開式的所有系數(shù)之和為（1-3）⁶=2⁶=64，
故答案為：64．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)展開式求出n的最小值是解決本題的關(guān)鍵．