Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₄=8，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意得，利用a_n與S_n的關(guān)系求出{a_n}的通項公式，單獨求出n=1時a₁的值，驗證其是否滿足通項公式，即可求出{a_n}的通項公式；利用等比數(shù)列的性質(zhì)將{b_n}的公比求出，即可求出其通項公式；
（2）由（1）中求出的{a_n}和{b_n}的通項公式代入新數(shù)列中，寫出新數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求出其前n項和T_n．

解答 解：由題意得：
（1）因為S_n=2n²+n①，所以S_n-1=2（n-1）²+（n-1）②，
所以①-②得：a_n=S_n-S_n-1=4n-1（n≥2）；
當n=1時，a₁=S₁=3；
所以a_n=4n-1，n∈N^*，
又因為等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₄=8，n∈N^*，
所以${q}^{3}=\frac{_{4}}{_{1}}$=8，
所以q=2，
所以b_n=2^n-1；
（2）由（1）可知a_n•b_n=（4n-1）2^n-1，
所以T_n=3+7×2¹+11×2²+…+（4n-5）×2^n-2+（4n-1）×2^n-1①，
2T_n=3×2+7×2²+11×2³+…+（4n-5）×2^n-1+（4n-1）×2ⁿ②，
所以①-②得：-T_n=3+4×2+4×2²+4×2³+…+4×2^n-1-（4n-1）×2ⁿ②，
T_n=5+（4n-5）×2ⁿ．

點評 （1）本題難度中檔，解題關(guān)鍵在于對a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系熟練掌握，以及等比數(shù)列相關(guān)知識點的掌握；（2）難度中上，解題關(guān)鍵在于對錯位相減法求數(shù)列前n項和的方法的掌握和應(yīng)用．