Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若{$\frac{1}{2{a}_{n}+{a}_{n+1}}$}是等差數(shù)列，則（$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…（$\frac{1}{2{a}_{2014}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$）的值等于（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． 3020
• D． 3021

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，求出a_n=1，然后進(jìn)行求和即可．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，a₁=1，
∴a_n=q^n-1，
∴$\frac{1}{2{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2{q}^{n-1}+{q}^{n}}$
∵{$\frac{1}{2{a}_{n}+{a}_{n+1}}$}是等差數(shù)列，
∴2×$\frac{1}{2q+{q}^{2}}=\frac{1}{2+q}+\frac{1}{2{q}^{2}+{q}^{3}}$，
整理，得q²-2q+1=0，解得q=1，
∴a_n=1，
∴2a_n+a_n+1=3，
∴（$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…（$\frac{1}{2{a}_{2014}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$×2014=3021．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．