Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）=4．
（1）寫(xiě)出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直線l的直角坐標(biāo)方程；根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，運(yùn)用同角的平方關(guān)系，求出曲線C的普通方程；
（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）設(shè)出曲線C上任意一點(diǎn)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，求出最大距離．

解答 解：（1）由ρ（cosθ+sinθ）=4得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，得C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）在曲線C：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$上任取一點(diǎn)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
則點(diǎn)P到直線l的距離為：$d=\frac{{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}}{{\sqrt{2}}}≤3\sqrt{2}$，
當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，取得最大值3$\sqrt{2}$．
故曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化為普通方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．