Question

14．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且sinC=2sinAcosB，則△ABC是（　�。�

• A． 等邊三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由條件利用余弦定理求得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，可得C=$\frac{π}{3}$．再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得sin（A+B）=2sinAcosB，再利用兩角和差的正弦公式求得sin（A-B）=0，可得A=B=$\frac{π}{3}$，從而得出結(jié)論．

解答 解：△ABC中，由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，可得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
由sinC=2sinAsinB，可得sin（A+B）=2sinAsinB，即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
即sin（A-B）=0．
再根據(jù)-π＜A-B＜π，可得A-B=0，∴A=B=$\frac{π}{3}$，故△ABC是等邊三角形，
故選：A．

點評 本題主要考查余弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．