Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣k）ex+k，k∈Z，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（x）+5＞0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=xex，

∴f′（x）=ex+xex=ex（x+1），

∴當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＜0；

當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上是減函數(shù)，在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)

（2）解：不等式f（x）+5＞0恒成立（x﹣k）ex+k+5＞0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，

令F（x）=（x﹣k）ex+k+5，F(xiàn)′（x）=ex（x﹣k+1），（x∈R）

當(dāng)x∈（﹣∞，k﹣1）時(shí)，f′（x）＜0；

當(dāng)x∈（k﹣1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，k﹣1）上是減函數(shù)，在（k﹣1，+∞）上是增函數(shù)，

①k﹣1≤0時(shí)，即k≤1時(shí)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）≥0即可

而F（0）=5＞0恒成立，∴k≤1符合題意．

②k﹣1＞0時(shí)，即k＞1時(shí)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）min=F（k﹣1）=﹣ek﹣1+5+k＞0即可

令h（k）=﹣ek﹣1+5+k，h′（k）=1﹣ek﹣1＜0恒成立，即h（k）=﹣ek﹣1+5+k單調(diào)遞減

又∵h(yuǎn)（2）=﹣e+7＞0，h（3）=﹣e2+8＞0，h（4）=﹣e3+3＜0，

∴1＜k≤3

綜上，k的最大值為3

【解析】（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=xex，得f′（x）=ex+xex=ex（x+1），討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定單調(diào)區(qū)間．（2）不等式f（x）+5＞0恒成立（x﹣k）ex+k+5＞0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，令F（x）=（x﹣k）ex+k+5，F(xiàn)′（x）=ex（x﹣k+1）（x∈R），可得f（x）在（﹣∞，k﹣1）上是減函數(shù)，在（k﹣1，+∞）上是增函數(shù)，分兩種情況討論：①k﹣1≤0，②k﹣1＞0．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．