Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均為正的常數(shù)）的最小正周期為π，當x=$\frac{2π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，則下列結論正確的是（　　）

• A． f（2）＜f（-2）＜f（0）
• B． f（0）＜f（2）＜f（-2）
• C． f（-2）＜f（0）＜f（2）
• D． f（2）＜f（0）＜f（-2）

Answer 1

分析 依題意可求ω=2，又當x=$\frac{2π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，可解得φ，從而可求解析式f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質及誘導公式即可比較大�。�

解答 解：依題意得，函數(shù)f（x）的周期為π，
∵ω＞0，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2．
又∵當x=$\frac{2π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+$\frac{π}{6}$）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（-2）=Asin（-4+$\frac{π}{6}$）=Asin（$\frac{π}{6}$-4+2π）＞0．
f（2）=Asin（4+$\frac{π}{6}$）＜0，
f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=Asin$\frac{5π}{6}$＞0，
又∵$\frac{3π}{2}$＞$\frac{π}{6}$-4+2π＞$\frac{5π}{6}$＞$\frac{π}{2}$，而f（x）=Asinx在區(qū)間（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）是單調遞減的，
∴f（2）＜f（-2）＜f（0）．
故選：A．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質，用誘導公式將函數(shù)值轉化到一個單調區(qū)間是比較大小的關鍵，屬于中檔題．