Question

8．已知f（x）=x²-4x+2，遞增的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=2^a_n-2n，試求滿足b₁+b₂+…+b_n＜2015的最大自然數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）寫出${a}_{1}={x}^{2}-2x-1$，${a}_{3}={x}^{2}-6x+7$，由a₁+a₃=0且{a_n}為遞增數(shù)列即可求得x=1，從而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出a_n=2n-4；
（2）寫出$_{n}={2}^{2n-4}-2n$，根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式即可寫出$_{1}+_{2}+…+_{n}={4}^{n-2}-{n}^{2}-n$，能夠說明b₁+b₂+…+b₇＜2015，而b₁+b₂+…+b₈＞2015，從而求得滿足b₁+b₂+…+b_n＜2015的最大自然數(shù)n．

解答 解：（1）${a}_{1}=f（x+1）={x}^{2}-2x-1$，a₂=0，${a}_{3}=f（x-1）={x}^{2}-6x+7$；
∵a₁+a₃=0；
∴x²-4x+3=0；
∴x=1，或3；
又{a_n}遞增，∴x=1；
∴a₁=-2，d=2；
∴a_n=-2+（n-1）•2=2n-4，n∈N^*；
即a_n=2n-4，n∈N^*；
（2）$_{n}={2}^{2n-4}-2n$；
∴b₁+b₂+…+b_n=2^-2+2⁰+…+2^2n-4-（2+4+…+2n）=4^n-2-n²-n；
n=7時，b₁+b₂+…+b₇=1025-49-7＜2015；
n=8時，$_{1}+_{2}+…+_{8}={4}^{6}-64-8$=4096-64-8＞2015；
∴滿足b₁+b₂+…+b_n＜2015的最大自然數(shù)為7．

點評 考查等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式．