Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜b或x＞2}．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意方程ax²-3x+2=0的兩根為2、b，利用韋達(dá)定理可知a=b=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）、裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，方程ax²-3x+2=0的兩根為2、b，
∴2+b=$\frac{3}{a}$，4a-4=0，
解得：a=1，b=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n•（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=b{\;}_1+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=[{（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-{{\frac{1}{n+1}}^{\;}}}）}]$
=$（{1-\frac{1}{n+1}}）$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．