Question

17．已知點(diǎn)M是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一動(dòng)點(diǎn)，橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），離心率為e．
（Ⅰ）若$e=\frac{1}{2}$且|MF₁|+|MF₂|=4；
（i）求橢圓E的方程；
（ii）設(shè)點(diǎn)M到直線x=4的距離為d₁，則比值$\frac{{|M{F_2}|}}{d_1}$是否為定值？若是求出該定值，若不是，說明理由．
（Ⅱ）若點(diǎn)M到直線$x=\frac{a^2}{c}$的距離為d₂，類比（1）中的（ii），則比值$\frac{{|M{F_2}|}}{d_2}$是否為定值？若是，寫出該定值．（不要求書寫求解或證明過程）

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）通過橢圓定義即得結(jié)論；（ii）通過設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），利用點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間距離公式代入化簡(jiǎn)即得結(jié)論；
（Ⅱ）類比可知$\frac{{|M{F_2}|}}{d_2}$為離心率．

解答 解：（Ⅰ）（i）由題意得$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$…（1分）
解得：a=2，c=1…（2分）
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（ii）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，d₁=|x₀-4|，$|M{F_2}|=\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+y_0^2}$…（7分）
∴$\frac{{|M{F_2}|}}{d_1}=\frac{{\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+y_0^2}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{{\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+3（1-\frac{x_0^2}{4}）}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{{\sqrt{\frac{1}{4}x_0^2-2{x_0}+4}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{{\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_0}-4）}^2}}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{|M{F_2}|}}{d_1}$為定值$\frac{1}{2}$…（10分）
（Ⅱ）$\frac{{|M{F_2}|}}{d_2}$為定值e（或$\frac{c}{a}$）．     …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．