Question

已知函數f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）
（1）若直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；
（2）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（3）當a=2時，設x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₄∈[

1

2

，2]且x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，若不等式f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）設切點為（t，f（t）），則

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a

，解出方程組可求；
（2）先求f'（x），令f'（x）=0，可得極值點，分極值點在區(qū)間[

1

2

，2]內、外進行討論可得函數的最大值；
（3）f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，等價于f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）的最大值小于等于λ．a=2時可得f（x），且由（2）知y=4-x為其切線，先由圖象分析然后可證明f（x）≤4-x，由此對f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）放大，f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）≤4×2014-（x₁+x₂+…+x₂₀₁₄）=6042，從而可求最大值，注意檢驗等號取得條件．

解答： 解：（1）設切點為（t，f（t）），則

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a

，
由f'（t）=-1，有

9(1-at2)

(1+at2)2

=-1，化簡得a²t⁴-7at²+10=0，即at²=2或at²=5，①
由f（t）=-t+2a，有

9t

1+at2

=2a-t，②
由①、②解得a=2或a=

5 3 4

4

．      …（4分）
（2）f′(x)=

9[1•(1+ax2)-x•2ax]

(1+ax2)2

=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，…（6分）
令f'（x）=0，解得x=±

a

a

（負值舍去），
（�。┊�

a

a

≥2即0＜a≤

1

4

時，由P，得f'（x）≥0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f(2)=

18

4a+1

．…（7分）
（ⅱ）當

a

a

≤

1

2

即a≥4時，由x∈[

1

2

，2]，得f'（x）≤0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為A．…（8分）
（ⅲ）當

1

2

＜

a

a

＜2即

1

4

＜a＜4時，
∵在

1

2

＜x＜

a

a

時，f′（x）＞0，在

a

a

＜x＜2時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f（

a

a

）=

9 a

2a

．…（9分）
（3）當a=2時，f（x）=

9x

1+2x2

，
由（1）的結論知直線y=4-x為曲線y=f（x）的切線，
∵f（2）=2，∴點（2，f（2））在直線y=4-x上，
根據圖象分析，曲線y=f（x）在直線y=4-x下方．   …（10分）
下面給出證明：當x∈[

1

2

，2]時，f（x）≤4-x．
∵f（x）-（4-x）=

2(x-1)2(x-2)

1+2x2

，
∴當x∈[

1

2

，2]時，f（x）-（4-x）≤0，即f（x）≤4-x．…（12分）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤4×2014-（x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄），
∵x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤6042．
∴要使不等式f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，必須λ≥6042．…（13分）
又∵當x₁=x₂=x₃=…=x₂₀₁₄=1時，滿足條件x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，
且f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）=3×2014=6042，
因此，λ的最小值為6042．    …（14分）

點評：本題主要考查函數的性質、導數運算法則、導數的幾何意義及其應用、不等式的求解與證明、恒成立問題，考查學生的分類討論，計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．