Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x+2}$，
（1）試用定義證明f（x）在（-2，+∞）上為減函數(shù)．
（2）求函數(shù)f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）由（1）可得f（x）在[2，6]上遞減，即可得到最值．

解答 解：（1）證明：設(shè)-2＜m＜n，
則f（m）-f（n）=$\frac{1}{2+m}$-$\frac{1}{2+n}$
=$\frac{n-m}{（2+m）（2+n）}$，
由-2＜m＜n，可得2+m＞0，2+n＞0，m-n＜0，
即有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則f（x）在在（-2，+∞）上為減函數(shù)；
（2）由（1）可得f（x）在[2，6]上遞減，
即有x=2處取得最大值，且為$\frac{1}{4}$；
在x=6處取得最小值，且為$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．