Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，BH為AC邊上的高，BH=5，若20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，則H到AB邊的距離為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)$20a\overrightarrow{BC}+15b\overrightarrow{CA}+12c\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$便可得到$（20a-15b）\overrightarrow{AC}+（12c-20a）\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$，從而由平面向量基本定理便可得出$b=\frac{4}{3}a，c=\frac{5}{3}a$，從而有a²+b²=c²，這便說明BC⊥AC，從而C和H重合，這便得到a=5，根據(jù)面積公式即可求出H到AB邊的距離．

解答 解：根據(jù)條件，$20a（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）-15b\overrightarrow{AC}+12c\overrightarrow{AB}$=$（20a-15b）\overrightarrow{AC}+（12c-20a）\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$；
$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}$不共線；
∴$\left\{\begin{array}{l}{20a-15b=0}\\{12c-20a=0}\end{array}\right.$；
∴$b=\frac{4}{3}a，c=\frac{5}{3}a$；
∴${a}^{2}+（\frac{4}{3}a）^{2}=（\frac{5}{3}a）^{2}$；
即a²+b²=c²；
∴如圖，AC⊥BC，H和C重合，BH=5；

∴a=5，設(shè)H到AB邊的距離為h，則：
$\frac{5}{3}ah=a•\frac{4}{3}a$；
∴$h=\frac{4}{5}a=4$．故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及平面向量基本定理，直角三角形邊的關(guān)系，三角形的面積公式．